Q4. Sejam um espaço vetorial, um operador linear, vetores não nulos e autovalores de . Assum que seja um autovetor de associado ao autovalor e que se já um autovetor de associado ao autovalor . Considere as seguintes afirmações:

(I) se for um autovetor de , então ;

(II) se for bijetor, então e será um autovalor de ;

(III) o operador não tem autovalores, em que denota o operador identidade de .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (III) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

d) apenas a firmação (I) é necessariamente verdadeira;

e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.

(II) se for bijetor, então e será um autovalor de ;

Isso é verdadeiro. Se é bijetor, então existe. O fato de ser um autovalor de implica que e (um operador linear não pode enviar um vetor não nulo para o vetor nulo).

Além disso, se:

Então:

Ou seja, será um autovalor de .

(III) O operador não tem autovalores, em que denota o operador identidade de .

Isso é falso. Considere:

Onde pertence aos números reais. Então e , o que significa que todos os números reais são autovalores de .

Temos Portanto, a alternativa correta é:

c) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.