Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Considere o sistema linear S : A x → = b → , onde A é uma matriz quadrada que não possui autovetores:

I - S sempre admite solução.

I I - Quando S admite solução, ela não é única.

(a) I   é falsa e I I é verdadeira

(b)   Ambas são falsas

(c) Ambas são verdadeiras

(d)   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Se A é ima matriz quadrada que não possui autovetores, quer dizer que os seus autovalores são números complexos. Consequentemente, o zero não vai ser autovalor e portanto a matriz vai ser injetiva!

dim ⁡ ( N u c ( A ) ) = 0

E pelo T N I , podemos provar que ela também será sobrejetiva. Supondo que ela é n × n :

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

dim ⁡ I m A = n

Como a imagem tem a dimensão igual a do contradomínio, a matriz vai ser sobrejetiva. Ou seja, temos uma matriz bijetiva.

Sabemos que quando a matriz é injetiva, o sistema associado a ela vai ter solução única ou não vai ter solução. E que quando é sobrejetiva, sempre vai ter solução. Assim, chegamos a conclusão que o sistema sempre vai ter solução única!

I é verdadeira e I I é falsa!

Resposta

Letra d

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Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 3 - 2 λ 2 + λ + 5
No Exercício 11, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 1 0 1 1 - 1 1
No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 6 4 0 0 4 0