Considere o sistema linear S : A x → = b → , onde A é uma matriz quadrada que não possui autovetores:

I - S sempre admite solução.

I I - Quando S admite solução, ela não é única.

(a) I   é falsa e I I é verdadeira

(b)   Ambas são falsas

(c) Ambas são verdadeiras

(d)   I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Se A é ima matriz quadrada que não possui autovetores, quer dizer que os seus autovalores são números complexos. Consequentemente, o zero não vai ser autovalor e portanto a matriz vai ser injetiva!

dim ⁡ ( N u c ( A ) ) = 0

E pelo T N I , podemos provar que ela também será sobrejetiva. Supondo que ela é n × n :

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

dim ⁡ I m A = n

Como a imagem tem a dimensão igual a do contradomínio, a matriz vai ser sobrejetiva. Ou seja, temos uma matriz bijetiva.

Sabemos que quando a matriz é injetiva, o sistema associado a ela vai ter solução única ou não vai ter solução. E que quando é sobrejetiva, sempre vai ter solução. Assim, chegamos a conclusão que o sistema sempre vai ter solução única!

I é verdadeira e I I é falsa!

Resposta

Letra d

Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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