A5 T1
Seja . Pode-se afirmar que:
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é um autovalor.
Os autovalores de são e .
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é autovalor.
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é um autovalor.
Passo 1
Vamos lá, só de olhar pra matriz, já temos uma informação importante. Ela é , então têm que ter o autovalor . Além disso, o autoespaço associado ao autovalor é simplesmente o núcleo da matriz, que é dado por:
Na real não precisamos calcular ele, basta percebermos que como temos variáveis e equação, ele tem dimensão .
Beleza, até agora sabemos que a matriz tem o autovalor associado à um autoespaço de dimensão (formado por três vetores ). Isso já elimina a letra .
Passo 2
Agora repare o seguinte, essa matriz é certo? Então a soma de seus autoespaços deve ser no máximo igual a . Também sabemos que cada autovalor diferente está associado à um autoespaço de dimensão de no mínimo . Então vamos olhar a letra :
Po, isso dá no total. Não pode ser essa!
Então restam a e a . Ou em outras palavras, temos que descobrir se o outro autovalor é ou . A gente podia fazer a conta, mas ta bem fácil de ver que é o né?
É só fazermos . Então é a letra .
Resposta
Letra