UFPE, Álgebra Linear, 3 a EE -2017.2, Questão 4
Seja espaço vetorial com Seja um operador ortogonal. Suponha que e são autovalores de tais que Mostre que se e são autovetores associados aos autovalores e respectivamente; então e são ortogonais.
Passo 1
Se e são autovalores de e e são os autovetores associados, sei que:
e
O enunciado também diz que é um operador ortogonal, para isso, a seguinte igualdade deve ser verdadeira para quaisquer e em
Logo, deve valer para e :
Passo 2
Vou desenvolver isso que achamos que deve ser verdade para tentar provar que é ortogonal a
e
Substituindo as transformações:
Pela linearidade do produto interno, posso passar as constantes para fora:
Repara que tem mais uma informação do enunciado que ainda não usamos, . Isso indica pra gente que. Ou seja, para que a multiplicação do produto interno com esse termo se anule, o produto interno deve ser igual a zero. Ou seja, os vetores devem ser ortogonais!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)