Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada:

I -     Se D e t A = 0 , então 0 é autovalor de A

I I - Se 0 não é autovalor de A , então D e t ( A ) ≠ 0

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c)   I é verdadeira e I I é falsa

(d)   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Vamos ver a primeira afirmativa, tá perguntando pra gente se 0 é autovalor de A ,   isso acontece quando a dimensão do núcleo da matriz é maior que zero.

Bom, se   D e t A = 0 ,   vou ter linhas L D .

Se tenho linhas L D e minha matriz é quadrada, na forma escalonada, vou ter mais colunas que linhas certo? Porque uma ou mais linhas vão zerar! E isso caracteriza um sistema homogêneo com infinitas soluções.

Falar que a matriz tem um sistema homogêneo associado com infinitas soluções é o mesmo que falar que seu núcleo tem dimensão maior que zero! Assim essa afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Agora ele pergunta pra gente se a recíproca é verdadeira e de fato é.

Pensa comigo, se 0 não é autovalor de A , a dimensão do núcleo deve ser 0 e para isso o sistema homogêneo associado a matriz deve ter solução única!

Para ser possível, é preciso que o número de linhas L I   seja maior ou igual ao número de colunas. Como sabemos que a matriz é quadrada, nesse caso o número de linhas L I vai ter que ser igual ao número de colunas.

Ou seja, após o escalonamento nenhuma das minhas linhas pode zerar! Quando isso acontece, o meu determinante não zera!

Isso é exatamente o que a afirmativa ta nos dizendo.

Resposta

b

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