UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 12
Seja uma matriz quadrada:
Se então 0 é autovalor de
Se 0 não é autovalor de então
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) é verdadeira e é falsa
(d) é falsa e é verdadeira
Passo 1
Vamos ver a primeira afirmativa, tá perguntando pra gente se 0 é autovalor de isso acontece quando a dimensão do núcleo da matriz é maior que zero.
Bom, sevou ter linhas
Se tenho linhas e minha matriz é quadrada, na forma escalonada, vou ter mais colunas que linhas certo? Porque uma ou mais linhas vão zerar! E isso caracteriza um sistema homogêneo com infinitas soluções.
Falar que a matriz tem um sistema homogêneo associado com infinitas soluções é o mesmo que falar que seu núcleo tem dimensão maior que zero! Assim essa afirmativa é verdadeira.
Passo 2
Agora ele pergunta pra gente se a recíproca é verdadeira e de fato é.
Pensa comigo, se 0 não é autovalor de , a dimensão do núcleo deve ser 0 e para isso o sistema homogêneo associado a matriz deve ter solução única!
Para ser possível, é preciso que o número de linhas seja maior ou igual ao número de colunas. Como sabemos que a matriz é quadrada, nesse caso o número de linhas vai ter que ser igual ao número de colunas.
Ou seja, após o escalonamento nenhuma das minhas linhas pode zerar! Quando isso acontece, o meu determinante não zera!
Isso é exatamente o que a afirmativa ta nos dizendo.
Resposta
b