Calcule a solução geral da EDO y'' - 5y' + 6y = 3 * e^(-2t) .

Passo 1

Fala aí!! A questão quer que a gente encontre a solução geral da EDO

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   3 e - 2 t

Ou seja, temos que calcular a solução da equação homogênea e depois calculamos a solução particular. A solução geral é a soma das duas:

y t = y h t + y p ( t )

Vamos começar calculando a solução da equação homogênea:

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   0

A equação característica é:

r 2 - 5 r + 6 = 0

∆ = 5 2 - 4.6 = 25 - 24 = 1

r = 5 ± ∆ 2 = 5 ± 1 2

Então, as raízes dessa equação serão:

r 1 = 5 + 1 2 = 3

r 2 = 5 - 1 2 = 2

A solução para esse caso de ∆ > 0 é da forma:

y = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t  

Então, a solução da equação homogênea é:

y h ( t ) = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t  

Passo 2

Agora que já temos a solução da equação homogênea, vamos calcular a solução aprticular. Como o resultado da equação é da forma e - 2 t , então a nossa solução particular será da forma:

y p = A e - 2 t

Vamso substituir na equação para descobrirmos o valor da constante A . Para isso, precisamos conhecer as derivadas primeira e segunda dessa solução.

y p ' = - 2 A e - 2 t

y p ' ' = 4 A e - 2 t

Subsituindo na equação, teremos:

y ' ' - 5 y ' + 6 y   =   3 e - 2 t

4 A e - 2 t + 10 A e t + 6 A e - 2 t = 3 e - 2 t

20 A e - 2 t = 3 e - 2 t → 2 0 A = 3 → A = 3 / 2 0

Pronto, agora sabemos como é a nossa solução particular:

y p = 3 2 0 e - 2 t

Agora, podemos calcular a nossa solução geral:

y t = y h t + y p ( t )

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t + 3 2 0 e - 2 t

É isso! A gente não pode esquecer que como ele nos pede a solução geral, no final temos que somar as duas soluções (homogênea e particular).

Resposta

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t + 3 20 e - 2 t

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