UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV3 - 2022.1 - Prof° Luiz Fernando, Questão 3.
Questão 3 - Determine uma solução particular da EDO .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nosso objetivo nesse problema é obter a solução particular da EDO dada por .
Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea cuja função não homogênea é dada por . Essa informação é muito importante!
Mas tem ideia do que podemos fazer para obter essa solução particular? 🤔
A solução particular é obtida apenas tendo como base a função , no caso em que , consideramos a solução como .
Mas antes temos que obter a solução homogênea de modo a verificarmos se a solução homogênea são será obtida como a solução particular.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Então a primeira coisa que temos que fazer é calcular a solução homogênea pois a solução particular é obtida por , que é uma estrutura muito parecida com a solução homogênea.
Para obter a solução homogênea, temos que primeiro obter a equação característica.
Pra isso, fazemos que
Pela regra da cadeia, obtemos que as derivadas de são...
Já a derivada de segunda ordem...
Substituindo , e na EDO, a considerando homogênea...
Colocando em evidência, temos
nunca pode ser igual a , então obrigatoriamente deve ser igual a .
Logo, nossa equação característica é dada por
O próximo passo é calcular as raízes dessa equação para substituir em
A partir da equação característica, encontramos apenas uma raiz
Portanto, a solução homogênea é dada por
Como e são iguais, temos que acrescentar em um dos termos.
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Como vimos no passo 1, a solução particular é obtida a partir da função não homogênea, ou seja, a partir de .
Dessa forma, a solução particular é dada a partir da solução genérica de , ou seja
Mas temos que acrescentar já que e já faz parte da solução homogênea .
Com isso, nossa nova solução particular é dada por , então vamos substituir , e na EDO.
Calculando a derivada de primeira ordem pela regra do produto e a regra da cadeia, temos
Já a derivada de segunda ordem é dada também pela regra do produto com a regra da cadeia em cada termo.
Substituindo , e na EDO, temos
Colocando em evidência...
Por igualdade de polinômios, vemos que
Entendeu essa parte? 😁
Passo 4
Assim, na segunda equação vemos que ... substituindo na primeira equação, temos
Assim vemos que
Portanto, se a solução particular é dada por
E vimos que e , então a solução particular da EDO é
E esse é o resultado que estávamos procurando!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
