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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2 ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + p y ' + q y = e - p t 2

Sabendo que p 2 - 4 q < 0 .

Passo 1

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea associada:

y ' ' + p y ' + q y = 0

O polinômio característico:

r 2 + p r + q = 0

r = - p ± p 2 - 4 q 2 = - p 2 ± i - p 2 + 4 q 2

Lembrando que a raiz está escrita dessa forma porque o enunciado diz que p 2 - 4 q < 0 . Passando o 2 para dentro da raiz:

r = - p 2 ± i - p 2 4 + q

Chamando:

α = - p 2

β = - p 2 4 + q

r = α ± i β

E a solução será:

y h = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

y h = e - p 2 t c 1 cos ⁡ - p 2 4 + q t + c 2 sen ⁡ - p 2 4 + q t

Passo 2

Agora vamos partir para a não homogênea:

y ' ' + p y ' + q y = e - p t 2

Ora, se a nossa EDO está igualada a uma função exponencial, nada mais justo que a nossa solução particular seja uma exponencial também:

y p = A e - p t 2

Passo 3

Primeiramente, temos que verificar se essa solução está presente na solução da homogênea:

y h = e - p 2 t c 1 cos ⁡ - p 2 4 + q t + c 2 sen ⁡ - p 2 4 + q t

Perceba que existe a exponencial, mas ela não está sozinha, está multiplicando um seno e um cosseno. Sendo assim, podemos prosseguir:

y p ' = - p 2 A e - p t 2

y p ' ' = p 2 4 A e - p t 2

Substituindo na EDO:

y ' ' + p y ' + q y = e - p t 2

p 2 4 A e - p t 2 + p - p 2 A e - p t 2 + q A e - p t 2 = e - p t 2

Juntando termos semelhantes:

e - p t 2 p 2 4 A - p 2 2 A + q A = e - p t 2

Agora igualamos os coeficientes em ambos os lados:

p 2 4 A - p 2 2 A + q A = 1

- p 2 4 A + q A = 1

A = 1 - p 2 4 + q

Passo 4

E finalmente, a solução geral será:

y t = y h + y p

y t = e - p 2 t c 1 cos ⁡ - p 2 4 + q t + c 2 sen ⁡ - p 2 4 + q t + 1 q - p 2 4

Resposta

y t = e - p 2 t c 1 cos ⁡ - p 2 4 + q t + c 2 sen ⁡ - p 2 4 + q t + 1 q - p 2 4

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