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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Considere a equação diferencial y ' ' + a 2 y = A sen ⁡ a t , onde a e A são constantes reais diferentes de zero. Então a solução geral da equação diferencial é (onde C 1 e C 2 são constantes reais arbitrárias):

  1. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a sen ⁡ a t
  2. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a cos ⁡ a t
  3. y = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t - A 2 a t sen ⁡ a t
  4. y = C 1 t cos ⁡ a t + C 2 t sen ⁡ a t - A 2 a t cos ⁡ a t
  5. y = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t - A 2 a t cos ⁡ a t

Passo 1

Vamos começar resolver a EDO homogênea associada:

y ' ' + a 2 y = 0

r 2 + a 2 = 0

r 2 = - a 2

r = ± - a 2

r = ± a 2 i

r = ± a i

Dessa forma nossa solução da EDO homogênea vai ser

y h t = e 0 t C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t

y h t = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t

Passo 2

Agora vamos achar a solução particular

y ' ' + a 2 y = A sen ⁡ a t

A solução particular vai ser a soma de senos com cossenos, isso porque a nossa função da parte não homogênea é A sem ⁡ a t

y p = K 1 sen ⁡ a t + K 2 cos ⁡ a t

Mas repara que essa solução e a solução da homogênea, então devemos multiplicar a nossa particular por t

y p = K 1 t sen ⁡ a t + K 2 t cos ⁡ a t

Vamos substituí-la na EDO para achar K 1 e K 2

y p ' = K 1 sen ⁡ a t + a K 1 t cos ⁡ a t + K 2 cos ⁡ a t - a K 2 t sen ⁡ a t

y p ' ' = a K 1 cos ⁡ a t + a K 1 cos ⁡ a t - a 2 K 1 t sen ⁡ a t - a K 2 sen ⁡ a t - a K 2 sen ⁡ a t - a 2 K 2 t cos ⁡ a t

y p ' ' = - a 2 K 1 t - 2 a K 2 sen ⁡ a t + 2 a K 1 - a 2 K 2 t cos ⁡ a t

Passo 3

Vamos substituir y p . y p ' e y p ' ' na integral

- a 2 K 1 t - 2 a K 2 sen ⁡ a t + 2 a K 1 - a 2 K 2 t cos ⁡ a t + a 2 K 1 t sen ⁡ a t + K 2 t cos ⁡ a t = A sen ⁡ a t

- 2 a K 2 sen ⁡ a t + 2 a K 1 cos ⁡ a t = A sen ⁡ a t

Dessa forma, teremos:

- 2 a K 2 = A → K 2 = - A 2 a

2 a K 1 = 0 → K 1 = 0

A nossa solução particular vai ser:

y p = - A 2 a t cos ⁡ a t

Passo 4

A solução da nossa EDO vai ser

y = y h + y p

y = C 1 cos ⁡ a t + C 2 sen ⁡ a t - A 2 a t cos ⁡ a t

Resposta

Letra e

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