IME, Cálculo 3, 2021, VF, Q1A
Considere a série de funções trigonométricas
- Analise a convergência pontual e uniforme da mesma;
- Denotando a soma da série por , prove que é contínua em [0,1];
- Determine o valor dos coeficientes na identidade , justificando os cálculos.
Passo 1
Fala galerinha de casa! Como estas funções trigonométricas são limitadas usaremos o
Teste M de Weierstrass. Segundo este se uma série de termos é tal que:
Onde é uma sequência de constantes tal que converge, então a série converge uniformemente em . Isto é
A série de termos é da forma , a qual converge para Assim, pelo teste M de Weierstrass, como a série de termos converge, as inequações acima resultam na convergência uniforme da série de funções trigonométricas em todo eixo real. Obviamente, se uma série converge uniformemente, então converge pontualmente.
Resposta
Converge pontual e uniformemente em todo eixo real.
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