Lembre que cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 . A equação y'' - 2y' + y = cos^4(x) tem uma solução particular da forma (onde as letras minúsculas representam constantes arbitrárias):

  1. y_p(x) = A + B * sen(2x) + C * cos(2x) + D * sen(4x) + E * cos(4x) .
  2. y_p(x) = A * cos(2x) + B * cos(4x)
  3. y_p(x) = A * sen^4(x) + B * cos(4x)
  4. y_p(x) = A + B * sen(4x) + C * cos(4x)
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Vamos começar aqui seguindo a dica do exercício e tentando simplificar o cos 4 ⁡ θ :

cos 4 ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 2 2 + cos ⁡ 2 θ 2 + cos 2 ⁡ 2 θ 4   →

Fazendo novamente cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ / 2 só que agora considerando o θ como 2 θ ...

cos 4 ⁡ x = 1 4 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4   →

cos 4 ⁡ x = 1 4 + 1 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + cos ⁡ 4 θ 8   →

cos 4 ⁡ x = 3 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 8 cos ⁡ 4 θ  

Passo 2

Ok, simplificamos o cosseno, mas e aí? Qual é o tipo de solução particular teremos então com...

y ' ' - 2 y ' + y = 3 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 8 cos ⁡ 4 θ

Bem, 3 / 8 é uma constante, então a constante A tem que estar na particular...

y p = A + …

Para a parte com cos ⁡ 2 θ , teremos uma solução assim com a combinação de seno de 2 θ mais o cosseno...

y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + …

E para o outro cosseno de 4 θ agora teremos outra combinação parecida com essa...

y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x

E prontinho! Essa será a cara da solução particular! Se o problema nos pedisse para encontrar essas constantes, derivaríamos e substituiríamos na EDO, saca?

Resposta

a )   y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + 9 y = e 3 x
Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento. No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por x = c₁ * e^(rt) + c₂ * t * e^(rt) . Mostre que o gráfic