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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Lembre que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ / 2 . A equação y ' ' - 2 y ' + y = cos 4 ⁡ x tem uma solução particular da forma (onde as letras minúsculas representam constantes arbitrárias):

  1. y p x = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x .
  2. y p x = A cos ⁡ 2 x + B cos ⁡ 4 x
  3. y p x = A sin 4 ⁡ x + B cos ⁡ 4 x
  4. y p x = A + B sin ⁡ 4 x + C cos ⁡ 4 x
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Vamos começar aqui seguindo a dica do exercício e tentando simplificar o cos 4 ⁡ θ :

cos 4 ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 2   →

cos 4 ⁡ x = 1 2 2 + cos ⁡ 2 θ 2 + cos 2 ⁡ 2 θ 4   →

Fazendo novamente cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ / 2 só que agora considerando o θ como 2 θ ...

cos 4 ⁡ x = 1 4 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4   →

cos 4 ⁡ x = 1 4 + 1 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + cos ⁡ 4 θ 8   →

cos 4 ⁡ x = 3 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 8 cos ⁡ 4 θ  

Passo 2

Ok, simplificamos o cosseno, mas e aí? Qual é o tipo de solução particular teremos então com...

y ' ' - 2 y ' + y = 3 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 8 cos ⁡ 4 θ

Bem, 3 / 8 é uma constante, então a constante A tem que estar na particular...

y p = A + …

Para a parte com cos ⁡ 2 θ , teremos uma solução assim com a combinação de seno de 2 θ mais o cosseno...

y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + …

E para o outro cosseno de 4 θ agora teremos outra combinação parecida com essa...

y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x

E prontinho! Essa será a cara da solução particular! Se o problema nos pedisse para encontrar essas constantes, derivaríamos e substituiríamos na EDO, saca?

Resposta

a )   y p = A + B sin ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x + D sin ⁡ 4 x + E cos ⁡ 4 x

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