Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

Ver Teoria
Exercício 6512345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364666768

Enunciado

UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 3a

Resolva os seguintes P V I ´ s

a ) y ' ' - 2 y ' + y = e t ,   y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y ' ' - 2 y ' + y = e t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 2 - 2 m + 1 = 0

A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: m 1 , m 2 (polinômio de segunda ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema definido, vamos achar nossa solução e no final substituir as condições para achar as constantes!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 2 - 2 m + 1 = 0

Você pode fatorar do jeito que preferir! Eu vou usar báskara!

m = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = 1

No nosso caso temos duas raízes iguais e reais!

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t

y h = c 1 e t + c 2 t e t

Tivemos que multiplicar a segunda exponencial por t para modificar a solução!

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y ' ' - 2 y ' + y = e t

Mas já temos uma solução com e t e t e t , sendo assim, precisamos retirar essa duplicidade! Vamos supor solução do tipo

y n h = A t 2 e t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = 2 t A e t + A t 2 e t

y ' ' = 2 A e t + 2 t A e t + 2 A t e t + A t 2 e t = A t 2 e t + 4 t e t + 2 A e t

Substituindo temos

A t 2 e t + 4 t e t + 2 A e t - 2 2 t A e t + A t 2 e t + A t 2 e t = e t

Dividindo tudo por e t

2 A = 1 → A = 1 2

Beleza?

Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 1 2 t 2 e t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 e t + c 2 t e t + 1 2 t 2 e t

Tranquilo até aqui? Estamos quase no fim!

Passo 4

Agora vamos aplicar as condiç��es iniciais! Nossa solução

y = c 1 e t + c 2 t e t + 1 2 t 2 e t

Agora as condições de contorno

y 0 = y ' 0 = 0

Fazendo y ( 0 ) temos

y 0 = c 1 + 0 + 0 = 0 → c 1 = 0

Agora y '

y ' = c 2 e t + c 2 t e t + t e t + 1 2 t 2 e t

E substituindo y ' 0 = 0 temos

0 = c 2 + 0 + 0 + 0 → c 2 = 0

Belezinha?

agora que temos as constantes, voltamos para nossa solução geral

y = c 1 e t + c 2 t e t + 1 2 t 2 e t

Com c 1 = c 2 = 0

y = 1 2 t 2 e t

E é isso! Essa é nossa solução! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = 1 2 t 2 e t

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + 9 y = e 3 x
Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento. No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por x = c 1 e r t + c 2 t e r t . Mostre que o gráfico de x