Se , a equação diferencial tem uma solução da forma
(a)
(b)
(c)
(d) nenhuma das outras alternativas
(e)
Passo 1
Temos uma EDO não homogênea com a função no lado direito. Ele quer uma solução dessa EDO, então precisamos achar a solução particular.
Mas a gente não pode sair dizendo “ah então a solução é da forma !”. Primeiro a gente tem que calcular a solução da equação homogênea e depois a solução particular, show?
A EDO homogênea é
Assim, a equação auxiliar vai ser
Assim, vamos ter duas raízes iguais
Excelente! Asolução homogênea é da forma
Passo 2
Beleza, agora voltando à EDO não homogênea:
No lado direito temos algo do tipo então, como eu disse no começo, o nosso reflexo é tentar uma solução particular do tipo
Mas, atenção, primeiro temos que testar se essa opção é solução da equação homogênea!
E na solução da homogênea temos um termo então esse “chute” não serve!
Então vamos multiplicá-lo por , o que dá:
Mas novamente não vai dar certo porque na tem um .
Então temos que multiplicar de novo por :
Agora tá tudo certo! Essa é a solução particular da equação!
Juntando com a solução homogênea, obtemos a solução geral:
Passo 3
A nossa solução precisa ter essa cara
O que pode mudar aqui é esse e o , mas em todas precisa te algo com
A única alternativa que tem isso é a letra e, mas ele é somado com uma função que não tem nada de semelhante com a solução que achamos
Então nenhuma das alternativas está certa! Ou melhor, a alternativa “nenhuma das outras alternativas” está certa haha.
Resposta
Alternativa (d)