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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Resolva o PVI

2 y ' ' + y ' + 2 y = c o s h x ,             y 0 = - 1 ,           y ' 0 = 2

Passo 1

Opa, vamos resolver esse PVI. Vamos começar buscando a solução da equação homogênea. Para isso, a gente calcula a equação característica:

2 r 2 + r + 2 = 0

Vamos achar as raízes dessa equação de 2° grau:

r = - 1 ± 1 - 4.2 . 2 4 = - 1 ± 15 i 4

A solução da equação homogênea fica da forma:

y h x = c 1 e - 0,25 t sen ⁡ 15 4 t + c 2 e - 0,25 t cos ⁡ 15 4 t

Beleza!! Já sabemos a solução da equação homogênea, agora vamos calcular a solução particular. Como temos uma função cosh ⁡ x , a nossa solução particular será da forma:

y p = A senh ⁡ x + B cosh ⁡ x

Vamos calcular a derivadas da solução particular para depois substituir na equação:

y ' p = A cosh ⁡ x + B senh ⁡ x

y p ' ' = A senh ⁡ x + B cosh ⁡ x

Substituindo na nossa equação, teremos:

2 A senh ⁡ x + B cosh ⁡ x + A cosh ⁡ x + B senh ⁡ x + 2 A senh ⁡ x + B cosh ⁡ x = cosh ⁡ x

Igualando os dois lados, temos que:

cosh ⁡ x 2 B + A + 2 B = cosh ⁡ x → 4 B + A = 1

senh ⁡ x 2 A + B + 2 A = 0 → 4 A + B = 0

Chegamos a:

A = - 1 15             B = 4 15

y p = - 1 15 senh ⁡ x + 4 15 cosh ⁡ x

Passo 2

Agora que já temos as soluções, podemos achar a solução geral.

y x = y h + y p

y x = c 1 e - 0,25 t sen ⁡ 15 4 t + c 2 e - 0,25 t cos ⁡ 15 4 t + - 1 15 senh ⁡ x + 4 15 cosh ⁡ x

Marailha! Agora, vamos substituir as condições que o problema nos deu:

y 0 = - 1

y ' 0 = 2

Vamos começar pela primeira:

y 0 = c 2 + 4 15 = - 1 → c 2 = - 1 - 4 15 = - 19 15

Agora, vamos calcular a derivada da nossa solução para podermos aplicar a segunda condição:

y ' ( x ) = - 0,25 . e - 0,25 t   c 1 sen ⁡ 15 4 t + c 2 cos ⁡ 15 4 t + e - 0,25 t c 1 15 4 cos ⁡ 15 4 t - c 2 15 4 sen ⁡ 15 4 t + - 1 15 cosh ⁡ x + 4 15 senh ⁡ x

y ' 0 = - 0,25 . c 2 + c 1 15 4 - 1 15 = 2  

c 1 15 4 = 2 + 1 15 + 0,25 . c 2 = 31 15 + 1 4 c 2

Substituindo c 2 , temos:

c 1 15 4 = 31 15 + 1 4 - 19 15 = 105 60

c 1 = 105 60 4 15 = 7 15 15

Logo, a nossa solução é:

y x = 7 15 15 e - 0,25 t sen ⁡ 15 4 t - 19 15 e - 0,25 t cos ⁡ 15 4 t + - 1 15 senh ⁡ x + 4 15 cosh ⁡ x

Resposta

y x = 7 15 15 e - 0,25 t sen ⁡ 15 4 t - 19 15 e - 0,25 t cos ⁡ 15 4 t + - 1 15 senh ⁡ x + 4 15 cosh ⁡ x

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