Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Nós temos que resolver uma EDO não homogênea. Então, primeiro vamos resolver o caso homogêneo associado:
O polinômio característico será:
Como temos apenas uma raiz, temos que a solução será do tipo:
Passo 2
Maneiro!!! Agora vamos partir para a resolução da EDO não homogênea:
Como temos uma função exponencial, seria um bom chute uma solução particular do tipo:
MASSSS, precisamos ver se ela já está na solução homogênea:
Ops, ela está. Vamos multiplicar por até que fique diferente.
Essa solução também está na homogênea, então vamos multiplicar mais uma vez.
Agora sim podemos prosseguir com os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas dessa solução particular:
Substituindo na EDO:
Ao juntar os termos semelhantes:
Logo, .
Então a solução particular é
Passo 4
E, portanto, a solução geral se dá por: