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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 2b

Determine a solução geral das equações diferenciais não homogênea

b ) y 4 + 8 y ' ' + 16 y = 8 e 2 t

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y 4 + 8 y ' ' + 16 y = 8 e 2 t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 4 + 8 m 2 + 16 = 0

A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (polinômio de quarta ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t + c 4 e m 4 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e 2 t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução homogênea em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 4 + 8 m 2 + 16 = 0

Aqui você pode resolver do jeito que achar melhor! É uma equação biquadrada, então vou fazer a seguinte mudança y = m 2

y 2 + 8 y + 16 = 0

y + 4 2 = 0 → y = - 4

Vamos retornar para m

m 2 = - 4 → m = ± 2 i

Note que essa raiz é de multiplicidade dois! t em uma das exponenciais para tirar a duplicidade das raízes iguais.

Além disso nossa solução é complexa, então a solução associada a ± b i é

e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t )

No nosso caso a = 0 ,   b = 2 .

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = e a t c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t + t . e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t )

y h = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t + t ( c 3 cos ⁡ 2 t + c 4 sin ⁡ 2 t )

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y 4 + 8 y ' ' + 16 y = 8 e 2 t

Vamos supor solução do tipo

y n h = A e 2 t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = 2 A e 2 t ,   y ' ' = 4 A e 2 t ,   y ' ' ' = 8 A e 2 t ,   y 4 = 16 A e 2 t

Temos

16 A e 2 t + 8 . 4 A e 2 t + 16 A e 2 t = 8 e 2 t

Dividindo tudo por e 2 t

16 A + 32 A + 16 A = 8 → A = 1 8

Beleza? Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 1 8 e 2 t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t + t c 3 cos ⁡ 2 t + c 4 sin ⁡ 2 t + 1 8 e 2 t

E é isso! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t + t c 3 cos ⁡ 2 t + c 4 sin ⁡ 2 t + 1 8 e 2 t

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