Determine a solução geral da equação diferencial:
Com as seguintes condições iniciais
e .
Passo 1
a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:
Beleza, encontramos esses valores para ! Assim, como o foi maior do que , a solução homogênea é:
Passo 2
Partamos agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com . Pela nossa tabelinha devemos fazer
Passo 3
Agora temos que comparar e . Veja que está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: . Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por até que ela fique diferente
Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.
Vamos achar as derivadas
Passo 4
Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:
Devemos ter
Assim, a solução geral é:
Passo 5
b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Colocando em , temos:
Passo 6
Agora, vejamos o . Para isso, precisamos derivar , o que nos dá:
Colocando , teremos:
Passo 7
Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:
Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:
Substituindo esse valor para na primeira equação, temos:
Colocando esses dois valores na equação de , teremos: