UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 4b
Resolva as equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO linear não homogênea:
E pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Lembra como é a forma da solução geral de uma EDO não homogênea?
Ela vai ser a soma da solução homogênea, , com a solução particular, , ou seja:
A solução homogênea vai ser encontrada através da seguinte equação auxiliar:
Calculando as raízes dessa equação nós descobrimos a forma da solução homogênea. Mas e a solução particular?
Nós vamos encontrar a solução particular chutando uma função que tenha o mesmo formato da função do lado direito da EDO. Como no nosso caso temos a subtração de uma função polinomial com o produto de uma polinomial e uma exponencial (), nossa solução particular vai ter a mesma carinha. Então vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos fingir que nossa EDO seja homogênea:
E escrevemos sua equação auxiliar:
Calculando as raízes dessa equação, temos:
Repare que dentro da raiz nós teremos um número negativo, então nossa solução vai ser um número complexo do tipo:
Lembra como é nossa solução quando temos duas raízes complexa da forma ? Ela vai ter essa cara aqui:
Como aqui e , temos:
Essa é a nossa solução homogênea.
Passo 3
Agora para encontrar a solução particular, vamos olhar para a função que tá lá do lado direito da EDO:
A nossa solução particular precisa ter esse formato, então vamos chutar:
Agora vamos derivar isso tudo e substituir na nossa EDO. Derivando uma vez:
Derivando mais uma vez:
Passo 4
Agora vamos substituir todo mundo na nossa EDO:
Vamos agrupar os termos pra ficar mais fácil:
Resolvendo dentro dos parênteses ficamos com:
Comparando os coeficientes da parte exponencial, temos:
Logo,
E
Substituindo o valor de
Agora comparando a parte polinomial da equação, temos:
Logo, para os termos com :
Para os termos com :
Substituindo o valor de :
E, por fim:
Substituindo todo mundo na nossa solução particular , temos:
E finalmente podemos escrever nossa solução geral:
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉