- Considere a EDO
onde .
Suponha que a equação característica da EDO acima possui duas raízes distintas sendo uma delas, mostre que podemos encontrar uma solução particular na forma , onde
Explique como sabemos que .
Passo 1
Legal, vamos lá. Temos a EDO:
A solução dessa EDO vai ser dada pela combinação da solução homogênea com a solução particular:
Vamos verificar se é uma solução particular dessa equação. Para isso, substituímos:
Precisamos derivar, pela regra do produto, vamos ter:
Novamente pela regra do produto:
E agora podemos substituir isso na equação:
Como a exponencial vai ser sempre diferente de zero, podemos cortar:
Deixando o em evidência, vamos ter:
Passo 2
O único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se os coeficientes dos dois lados fores iguais, então precisamos que:
Vamos olhar para a primeira equação. Lembra que o problema disse que é uma raiz da equação característica? Bem, a equação característica é justamente:
Como é uma raiz, então:
E a primeira equação é satisfeita. Agora, para a segunda ser satisfeita:
Assim, vamos ter que
É solução particular com
Passo 3
Falta mostrar agora que
A chave aqui está no problema ter dito que a equação característica tem duas raízes distintas. Vimos que a equação característica é:
Então pelo tio Bhaskara:
Para termos raízes distintas, . Assim:
Que é o que sobraria se . 😊
Resposta
Demonstração na resolução.