Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Vamos resolver essa equação agora
A primeira coisa que vamos fazer é colocar o em evidência
Assim vamos ter
E
Para os outros valores de vamos resolver
Assim vamos ter
Passo 3
Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.
Repara que todas as raízes tem multiplicidade , então as soluções vão ser
A nossa solução da homogênea vai ser
Passo 4
Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO e para isso vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Repare que apesar da nossa função ser , estamos usando um polinômio de terceiro grau como chute. Isso porque nossa derivada de menor ordem é um ! Logo, se usássemos um polinômio de segundo grau, ele seria derivado e perderíamos nosso . Se nossa EDO tivesse um termo apenas com , então poderíamos usar um polinômio de segundo grau como chute.
Assim vamos ter
Substituindo na Edo vamos ter
Disso obtemos.
Resolvendo esse sistema teremos.
A constante não apareceu então como estamos procurando uma solução particular podemos fazer . Assim a solução particular será.
Passo 5
A nossa solução geral vai ser