Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Reorganizando isso aí, temos:
Ou seja, uma EDO de segunda ordem não-homogênea, uma vez que temos uma derivada de segunda ordem aparecendo e uma função de solta ali.
OK, desta forma a solução será dada pela combinação:
Vamos começar pela parte homogênea.
Passo 2
Para resolver a parte homogênea, consideramos a EDO homogênea equivalente:
A partir dela, obtemos a equação característica:
Legal, vamos resolver essa equação agora. Repare que essa equação pode ser escrita na forma:
Ou seja, é um quadrado perfeito
Com . Assim, teremos:
E teremos duas raízes reais e idênticas:
Com isso, nossa solução terá multiplicando uma das exponenciais:
Mas guarda essa solução aí no seu heart, porque vamos usar mais pra frente.
Passo 3
A solução homogênea já foi, vamos agora para a solução particular. Temos dois tipos de função aqui, a exponencial e outra constante Assim, vamos considerar dois casos:
Vamos começar com o segundo relacionado a constante. Para esse caso, esperamos uma solução também constante, então temos:
Para determinar , vamos substituir na EDO. Encontrando as derivadas para isso, vai ficar:
Logo:
Repare que desconsideramos a exponencial neste segundo caso. Isolando :
Assim teremos:
Passo 4
Vamos olhar para o primeiro caso agora que é , relacionado a exponencial. Esperaríamos naturalmente solução na forma:
O problema é que já teremos solução nessa forma e na forma aparecendo na parte homogênea, assim consideramos multiplicando, ou seja, consideramos:
Agora derivamos usando a regra do produto para substituir:
Assim, teremos:
Juntando termos de mesmo grau e comparando:
Ou seja, tiramos que:
Portanto:
E a solução particular será:
Passo 5
Com tudo construído, chegamos a solução final:
Essas constantes e são constantes gerais que dependem das condições iniciais ou de contorno. Como não temos um problema deste tipo aqui, então deixamos dessa maneira mesmo. 😉