Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa, vamos lá. A questão quer a solução da equação diferencial de segunda ordem. A gente começa fazendo a equação característica:
Agora, vamos calcular as raízes dessa equação:
Nesse caso, nos temos o , logo temos duas raízes reais e diferentes. Quando isso ocorre, a solução geral é da forma:
Substituindo os valores de e , chegaremos à solução da nossa equação homogênea.
Bom, agora, temos que achar a solução particular. Como temos uma função exponencial no resultado, podemos usar a seguinte função como solução particular:
Para substitui na nossa equação, precisamos saber como fica as derivadas dessa função. Então, derivando a função, temos:
Agora é só substituir na nossa equação diferencial e descobrir quanto vale a constante .
Maravilha!! Agora que já sabemos o valor de , podemos substituir na soluçaõ particular.
Para encontrar a solução geral, temos que lembrar que ela é a soma da solução homogênea e da particular:
Então, ficaremos com: