UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV3 - 2022.1 - Prof° Luiz Fernando, Questão 1.
Questão 1 - Determine a solução geral da seguinte EDO.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, nosso objetivo é obter a solução geral da EDO .
Perceba que nossa equação é uma equação de segunda ordem não homogênea.
Tem ideia de como obtemos a solução geral dessa EDO? 🤔
Para equações de segunda ordem não homogêneas, seguimos uma receitinha para obter sua solução:
Primeiro calculamos a solução da equação considerando a EDO homogênea, ou seja, no lugar de , consideramos .
E depois calculamos a solução particular da equação, que no caso é um polinômio .
Com ambas as soluções calculadas, a solução geral será dada pela soma da solução homogênea com a solução particular!
Sacou? Bora começar! 👍
Passo 2
Vamos começar pela solução homogênea .
Nesse caso, temos uma EDO de coeficientes constantes, portanto sua solução terá a seguinte característica
Assim, calculamos a primeira e a segunda derivada de para substituir na EDO.
Derivando pela regra da cadeia...
Já a segunda derivada, também pela regra da cadeia, é dada por
Substituindo , e por , e respectivamente na EDO homogênea, temos
Colocando em evidência...
Como nunca é igual a , então obrigatoriamente
Essa equação que encontramos é a que chamamos de equação característica!
Tranquilo até aqui? 🤩
Passo 3
A partir dessa equação característica, obtemos e a partir da fórmula de Bhaskara e de acordo com o valor de , a solução homogênea final terá uma cara diferente.
Calculando as raízes e de , vamos obter
Com obtido, fazemos
A partir de , vemos que as raízes da equação homogênea são dadas por
Como falamos no início do passo 3, a solução muda de acordo com o valor de . Nesse caso , portanto a solução homogênea será
Onde . Assim, vemos que , logo
E essa é a solução final da equação homogênea! 😁
Passo 4
O próximo passo é obter a solução particular.
No caso, a equação dessa solução é dada por
Ou seja, um polinômio de grau 2.
Portanto, a solução particular terá a seguinte cara para esse caso
E agora o que vamos fazer é obter a primeira e a segunda derivada de e substituir na EDO.
Pelo método de derivação polinomial...
Substituindo , e no lugar de , e em ...
Por igualdades de polinômios, vemos que
A partir desse sistema, temos que e, portanto...
E da terceira equação...
Dessa forma, a solução particular será dada por
Se a solução geral é dada pela soma de com , então a solução geral é...
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
