Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Temos uma derivada de segunda ordem aparecendo aqui, então temos uma EDO de 2ª ordem. Além disso, temos uma função de solta ali do outro lado. Logo, não é uma EDO homogênea!
Mas ok, segue o jogo. A solução da EDO não homogênea vai ser composta por:
Em que é a solução da EDO homogênea equivalente e é a solução particular.
Passo 2
Para resolver a parte homogênea, consideramos a EDO homogênea equivalente:
A partir dela, obtemos a equação característica:
Portanto, isolando , teremos:
Ou seja, temos duas raízes imaginárias e a solução homogênea será dada por senos e cossenos:
Passo 3
A parte homogênea já foi, vamos para a parte particular agora. Temos agora uma função . Por estar ao quadrado, poderíamos ter que usar algum outro método, mas vamos usar um drible aqui
Vamos usar a relação:
E podemos substituir isso na nossa EDO:
Legal, agora temos duas funções distintas aqui: uma constante e uma função trigonométrica . Então, vamos dividir nossa solução particular em duas partes, uma associada à constante que chamaremos de e outra associada à função trigonométrica que chamaremos de :
Vamos começar tratando de . Como temos uma constante associada, esperamos solução na forma:
Para achar , substituímos na EDO, para isso, derivamos:
Beleza, então substituindo na EDO sem a parte com cosseno, vai ficar:
Show, então:
Passo 4
Para outra parte, vamos considerar:
Derivamos novamente para poder substituir:
E podemos substituir na EDO sem a parte da constante:
Juntamos os termos para comparar:
Comparando os coeficientes, encontramos:
Então a segunda parte da solução particular vai ficar:
Ou seja, nossa solução particular será:
Passo 5
Agora que encontramos tudo, vamos substituir na solução geral: