UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 2a
Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine a solução geral das EDO’s:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela usando o método dos coeficientes indeterminados. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação, que no caso é .
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem tamb��m podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
A parte dos coeficientes indeterminados tá relacionada com a solução particular que nós falamos. Assim, nós vamos chutar uma solução particular que tenha o mesmo formato da função do lado direito, derivar essa solução três vezes e substituir na equação. Com isso, nós vamos determinar coeficientes pra nossa solução particular, que vai ser somada a solução homogênea pra nos dá a solução geral:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:
Temos a equação característica:
Vamos agrupar os termos colocando em evidência:
Pra que esse produto seja igual a zero, ou . Daí, podemos descobrir as raízes da equação:
Passo 3
Repare que nós temos três raízes reais e duas delas são iguais, o que nos dá uma solução do tipo:
Substituindo as nossas raízes:
Agora vamos achar nossa solução particular.
Passo 4
Como a nossa função é e nossa solução homogênea já tem um (que não pode se repetir), então nós vamos chutar uma solução do tipo:
Derivando essa equação, temos:
Vamos derivar mais duas vezes:
Substituindo , e na equação , temos:
Simplificando esse negoção, nós chegamos em:
Agora vamos igualar os termos de mesma ordem pra descobrir nossos coeficientes:
Substituindo todos os coeficientes em , temos nossa solução particular:
Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉