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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Considere a equação

y ' ' x + b y ' + c y = 0

Onde b e c ∈ R

  1. Determine b   e   c de forma que y 1 x = cos ⁡ x seja a solução da EDO acima.
  2. Utilizando os valores de b e c encontrados no item anterior, determine a solução geral de

y ' ' + b y ' + c y = cos ⁡ 2 x

Passo 1

a)

Para encontrarmos esses valores temos que substituir a solução que ele nos deu na equação. Calculando as derivadas.

y 1 ' = - sen ⁡ x

y 1 ' ' = - cos ⁡ x

Passo 2

Substituindo os valores das derivadas e da função.

- cos ⁡ x - b sen ⁡ x + c cos ⁡ x = 0

Disso podemos obter sem muitas dificuldades que.

b = 0 ,     c = 1

Passo 3

b)

Utilizando os valores encontrados no item a ) teremos a seguinte equação.

y ' ' + y = cos ⁡ 2 x

Agora é aquela ideia básica para resolver EDO de 2 ordem: resolver a homogênea associada e depois encontrar uma solução particular. A homogênea associada será.

y ' ' + y = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica associada.

r 2 + 1 = 0

r = ± i  

Logo teremos uma raiz dupla e igual a 0. Nossa solução homogênea será.

y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Passo 5

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar. Como a nossa parte não homogênea é uma função trigonométrica, teremos.

y p x = acos ⁡ 2 x + b sen ⁡ 2 x

Derivando a solução particular teremos.

y p ' = - 2 a sen ⁡ 2 x + 2 b cos ⁡ 2 x  

y p ' ' = - 4 a cos ⁡ 2 x - 4 b sen ⁡ 2 x

Passo 6

Substituindo na EDO para encontrar os valores de a e b .

- 4 a cos ⁡ 2 x - 4 b sen ⁡ 2 x + acos ⁡ 2 x + b sen ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

- 3 b sen ⁡ 2 x - 3 a cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

Disso nós tiramos que

b = 0 ,     a = - 1 3  

Passo 7

Assim a nossa solução será a soma da solução homogênea com a solução particular.

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x - 1 3 cos ⁡ 2 x

Resposta

  1. b = 0 ,     c = 1
  2. y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x - 1 3 cos ⁡ 2 x

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