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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Tarefa 2, Grau G2 - MAT 1154 Cálculo IV – PUCRIO – Questão 2

Considere:

y ' ' t + t y ' t + k y ( t ) = t y 0 = y ' 0 = t 0

em que k é uma constante. Seja a solução dada por uma série de potências

y t = ∑ n = 0 ∞ c n t n

1. Encontre uma regra para determinar os coeficientes c n

2. Encontre o coeficiente c 6 .

3. Considere agora

y ' ' t + t y ' t + k y ( t ) = t y 0 = y ' 0 = t 0

Em que k é um número par positivo. Encontre uma solução que seja um polinômios de grau k .

Passo 1

Vamos começar!

Ora! A gente sabe que a nossa EDO é dada por...

y ' ' + t y ' + k y = t

Onde a solução y pode ser obtida por...

y = ∑ n = 0 ∞ c n t n

Em seguida, vamos tirar a primeira e segunda derivadas de y ...

y ' = ∑ n = 1 ∞ n c n t n - 1

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) c n t n - 2

Passo 2

Substituindo na EDO...

y ' ' + t y ' + k y = t

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) c n t n - 2 + t ∑ n = 1 ∞ n c n t n - 1 + k ∑ n = 0 ∞ c n t n = t

Mas calma! Já podemos fazer análise das condições iniciais... Para y ( 0 ) , por exemplo...

y 0 = t 0

y 0 = ∑ n = 0 ∞ c n t n = t 0

∑ n = 0 ∞ c n 0 n = t 0

c 0 = t 0

Para y ' ( 0 ) , por exemplo...

y ' 0 = t 0

y ' 0 = ∑ n = 1 ∞ n c n t n - 1 = t 0

1 ⋅ c 1 ⋅ 0 1 - 1 = t 0

c 1 = t 0

Passo 3

Agora, vamos voltar pra EDO com as séries já substituídas...

Ajustando os somatórios, para que eles comecem no mesmo termo, no caso 1 ...

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) c n t n - 2 + t ∑ n = 1 ∞ n c n t n - 1 + k ∑ n = 0 ∞ c n t n = t

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) c n + 2 t n + ∑ n = 1 ∞ n c n t n + k ∑ n = 0 ∞ c n t n = t

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) c n + 2 t n + ∑ n = 1 ∞ n c n t n + k a 0 + k ∑ n = 0 ∞ c n t n = t

Opa! Agora está tudo com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, então pode juntar!

2 c 2 + k c 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 c n + 2 + n c n + k c n t n = t

Passo 4

Então, ficamos pelo princípio da identidade, com...

2 c 2 + k c 0 = 0 n + 2 n + 1 c n + 2 + n c n + k c n = 1

Da primeira equação, temos que...

2 c 2 + k c 0 = 0

c 2 = - k c 0 2

E como c 0 = t 0 :

c 2 = - k t 0 2

Agora, vamos pegar a segunda equação e isolar c n + 2 :

c n + 2 = 1 - n c n + k c n ( n + 2 ) ( n + 1 )

c n + 2 = n + 2 n + 1 - n + k n + 2 n + 1 c n

Passo 5

Agora, caímos na relação de recorrência! É a hora de testar pra achar uma fórmula geral pra essa relação...

c n + 2 = n + 2 n + 1 - n c n - k c n n + 2 n + 1

Bora lá...

P a r a   n = 1 ⇒ c 3 = 6 - n c 1 - k c 1 6 = 6 - t 0 - k t 0 6

P a r a   n = 2 ⇒ c 4 = 12 - n c 2 - k c 2 12 = 12 + k t 0 + k 2 t 0 2 12

P a r a   n = 3 ⇒ c 5 = 20 - 3 c 3 - k c 3 20 = 20 - 3 ⋅ 6 - t 0 - k t 0 6 - k ⋅ 6 - t 0 - k t 0 6 20

P a r a   n = 4 ⇒ c 6 = 3 0 - 4 c 4 - k c 4 30 = 30 - 4 ⋅ 12 + k t 0 + k 2 t 0 2 12 - k ⋅ 12 + k t 0 + k 2 t 0 2 12 30

Bom! E com isso, a gente obteve que...

c 6 = 30 - 12 + k t 0 + k 2 t 0 2 3 - 12 k + k 2 t 0 + k 3 t 0 2 12 30

Passo 6

Caso, a nossa EDO, por sua vez fosse assim...

y ' ' t + t y ' t + k y ( t ) = t y 0 = y ' 0 = t 0

Então, ficamos pelo princípio da identidade, com...

2 c 2 + k c 0 = 0 n + 2 n + 1 c n + 2 + n c n + k c n = 0

Da primeira equação, temos que...

2 c 2 + k c 0 = 0

c 2 = - k c 0 2

E como c 0 = t 0 :

c 2 = - k t 0 2

Agora, vamos pegar a segunda equação e isolar c n + 2 :

c n + 2 = - n + k n + 2 n + 1 c n

Passo 7

E então, caímos na seguinte relação de recorrência! É a hora de testar pra achar uma fórmula geral pra essa relação...

c n + 2 = - n + k n + 2 n + 1 c n

Bora lá...

P a r a   n = 0 ⇒ c 2 = - k 2 1 c 0 = - k 2 t 0

P a r a   n = 1 ⇒ c 3 = - 1 + k 3 2 c 1 = - 1 + k 6 t 0

P a r a   n = 2 ⇒ c 4 = - 1 + k 4 3 c 2 = - 1 + k 12 ⋅ - k t 0 2 = 1 + k 24 k t 0

P a r a   n = 3 ⇒ c 5 = - 1 + k 5 4 c 3 = = - 1 + k 20 ⋅ - 1 + k 6 t 0 = 1 + k 2 120 k t 0

P a r a   n = 4 ⇒ c 6 = - 1 + k 6 5 c 4 = - 1 + k 30 ⋅ 1 + k 24 t 0 = - 1 + k 2 720 k t 0

P a r a   n = 5 ⇒ c 7 = - 1 + k 7 6 c 5 = - 1 + k 42 ⋅ 1 + k 2 120 k t 0 = - 1 + k 3 5040 k t 0

P a r a   n = 6 ⇒ c 8 = - 1 + k 8 7 c 6 = - 1 + k 56 ⋅ - 1 + k 2 720 k t 0 = 1 + k 3 40320 k t 0

Quanto à série, ela vai ser dada, observando o padrão dos nossos testes. Por exemplo, no denominador de cada c n podemos ver que ele cresce fatorialmente.

Quando n é par, o sinal é positivo e quando n é impar, o sinal é negativo. A série então, vai ser igual à...

a n = - 1 n 1 + k n + 1 n + 4 ! + 1 + k n + 2 n + 5 ! k t 0

Desse modo, obtemos que...

y x = ∑ 0 ∞ - 1 n 1 + k n + 1 n + 4 ! + 1 + k n + 2 n + 5 ! k t 0 x n

Resposta

c 2 = - k t 0 2

c 6 = 30 - 12 + k t 0 + k 2 t 0 2 3 - 12 k + k 2 t 0 + k 3 t 0 2 12 30

y x = ∑ 0 ∞ - 1 n 1 + k n + 1 n + 4 ! + 1 + k n + 2 n + 5 ! k t 0 x n

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