Teste 7: Considere os problemas
e
Analise as seguintes afirmações:
- A solução do segundo problema possui um ponto de inflexão na origem.
- A equação linear possui pelo menos uma solução par.
- Todas as soluções da equação linear são ímpares.
São verdadeiras:
- Apenas .
- Apenas e .
- Apenas e .
- Apenas e .
- Apenas .
Passo 1
Bem, vamos começar a analisando a primeira afirmação:
“A solução do segundo problema possui um ponto de inflexão na origem.”
Bem, sabemos que para existir um ponto de inflexão em a segunda derivada nesse ponto tem que ser igual a :
Não precisa resolver essa EDO para verificar isso. Vamos apenas deriva-la novamente:
Aplicando ...
Então sim! Afirmação verdadeira !
Passo 2
Bem, essa EDO aqui:
Ela possui dois tipos de soluções, uma particular e outra homogênea. Vamos Ver a solução da homogênea primeiro:
Por comparação com a equação característica...
Então chegamos a raízes complexas do tipo , logo a solução da EDO é da seguinte forma:
Ora! Devido ao fato de termos uma exponencial ali, não podemos falar que temos soluções nem pares e nem ímpares. Então vamos inspecionar a solução da particular!
Passo 3
Como a função que torna a EDO não homogênea é a composição de cosseno e polinômio do segundo grau...
A particular terá essa cara aqui:
Derivando uma vez...
Calculando a segunda derivada...
Logo, jogando na EDO:
Então...
Logo...
Então a solução contém pelo menos uma solução par (o cosseno), então nem todas são impares.