Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:
Passo 1
Dá pra ver que essa coisa aí é um EDO de 2ª ordem não-homogênea, pois a maior derivada envolvida é a de segunda ordem e ela está igualada a uma coisa que não é zero. Então queremos:
Onde é a solução da EDO homogênea associada, e a solução da particular.
Passo 2
Então vamos encontrar a solução da homogênea:
Resolver essa EDO é resolver o seguinte polinômio característico:
Logo,
Passo 3
Feito isso, resta encontrar . Para isso, teremos que rever nossa equação original e determinar qual será nosso chute pra particular.
Já que temos um , devemos chutar algo desse tipo: .
MAAAAAAAS, temos que ver se essa coisa já está em .
Bom, não está porque na primeira equação, essa exponencial está multiplicando um cosseno e um seno, enquanto que na segunda equação, ela tá sozinha.
Vamos em frente, que atrás vem gente.
Passo 4
Se estamos supondo que é solução, ele deve respeitar a relação da EDO. Calculando suas derivadas:
Substituindo na EDO:
Arrumando essas coisas e juntando os termos semelhantes, ficamos com:
Logo .
Passo 5
AEEEEE já temos tudo o que precisamos pra solução geral. Olha só como ela fica: