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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de EDO Segunda Ordem, Questão 3j

Resolva as EDO´s não homogêneas

y ' '   - 2 y ' + 10 y = e t + s i n ( 3 t )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO não homogêneas homogênea de segunda ordem. Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   =   f ( t )

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, vamos obter a solução da equação homogênea

a y ' '   +   b y '   + c y   = 0

Para isso, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Agora que temos a solução da equação homogênea. Nós precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça a equação diferencial e somar essa solução com a equação homogênea. Para encontrarmos essa solução particular, podemos começar checando funções com a mesma estrutura da função f ( x )

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

y ' '   - 2 y ' + 10 y = e t + s i n ( 3 t )

temos:

r 2 - 2 r + 10 = 0

Logo, usando Bhaskara obtemos as raízes

r 1 = 1 - 3 i

r 2 = 1 + 3 i

Pelo passo 1. A solução é da forma:

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

  =     e t ( A c o s ( 3 t ) + B s i n ( 3 t ) )

Passo 3

Agora que temos a nossa solução homogênea, vamos encontrar a solução particular. Como temos

y ' '   - 2 y ' + 10 y = e t + s i n ( 3 t )

C 1 e t + C 2 s i n ( 3 t ) + C 3 c o s ( 3 t )

substituindo na edo temos:

( C 1 e t - 9 C 2 s i n ( 3 t ) - 9 C 3 c o s ( 3 t ) ) - 2 ( C 1 e t + 3 C 2 c o s ( 3 t ) - 3 C 3 s i n ( 3 t ) ) +

+ 10 ( C 1 e t + C 2 s i n ( 3 t ) + C 3 c o s ( 3 t ) ) = e t + s i n ( 3 t )

Casando os termo, temos que

C 1 = 1 / 9

- 9 C 2 + 6 C 3 + 10 C 2 = 1

- 9 C 3 - 6 C 2 + 10 C 3 = 1

Ou seja, temos que

C 1 = 1 / 9

C 2 = 1 / 37

C 3 = 6 / 37

Logo, descobrimos que a solução particular é:

y p ( t ) = 2

Dessa forma, a solução geral da EDO é:

y h ( t ) + y p ( t ) =   e t / 9 + s i n ( 3 t ) / 37 + 6 c o s ( 3 t ) / 37

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e t / 9 + s i n ( 3 t ) / 37 + 6 c o s ( 3 t ) / 37

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