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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 3b

Resolva os seguintes P V I ´ s

b ) y ' ' + 16 y = 32 sin ⁡ t + 32 cos ⁡ t ,   y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y ' ' + 16 y = 32 sin ⁡ t + 32 cos ⁡ t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 2 + 16 = 0

m 1 , m 2 (polinômio de segunda ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema definido, vamos achar nossa solução e no final substituir as condições para achar as constantes!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 2 + 16 = 0

Você pode fatorar do jeito que preferir! Eu vou usar báskara!

m = - ( 0 ) ± ( 0 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = ± 4 i

No nosso caso temos duas raízes complexas!

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t )

Com a = 0 ,   b = 4

y h = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sin ⁡ 4 t

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y ' ' + 16 y = 32 sin ⁡ t + 32 cos ⁡ t

Vamos supor solução do tipo

y n h = A cos ⁡ t + B sin ⁡ t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t

y ' ' = - A cos ⁡ t - B sin ⁡ t

Substituindo temos

- A cos ⁡ t - B sin ⁡ t + 16 ( A cos ⁡ t + B sin ⁡ t ) = 32 sin ⁡ t + 32 cos ⁡ t

sin ⁡ t 16 B - B + cos ⁡ t + 16 A - A = 32 sin ⁡ t + 32 cos ⁡ t

Igualando os coeficientes de seno e cosseno:

A = 32 15 ,   B = 32 15

Beleza?

Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

Tranquilo até aqui? Estamos quase no fim!

Passo 4

Agora vamos aplicar as condições iniciais! Nossa solução

y = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

Agora as condições de contorno

y 0 = y ' 0 = 0

Fazendo y ( 0 ) temos

y 0 = c 1 + 32 15 = 0 → c 1 = - 32 15

y = - 32 15 cos ⁡ 4 t + c 2 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

Agora y '

y ' = 128 15 sin ⁡ 4 t + 4 c 2 cos ⁡ 4 t - 32 15 sin ⁡ t + 32 15 cos ⁡ t

E substituindo y ' 0 = 0 temos

0 = 4 c 2 + 32 15 → c 2 = - 8 15

Belezinha?

agora que temos as constantes, voltamos para nossa solução geral

y = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

Com c 1 = - 32 15 , c 2 = - 8 15

y = - 32 15 cos ⁡ 4 t - 8 15 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

E é isso! Essa é nossa solução! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = - 32 15 cos ⁡ 4 t - 8 15 sin ⁡ 4 t + 32 15 cos ⁡ t + 32 15 sin ⁡ t

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