Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Vamos seguir o passo a passo. Nosso objetivo é encontrar:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:
A solução homogênea é:
Passo 2
Partamos agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela tabelinha nosso chute vai ser:
Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:
Passo 3
Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:
Passo 4
Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:
Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:
Como não há a função seno do lado direito da equação:
Então temos:
Passo 5
Assim, a solução geral é:
Porém encontramos:
Então fica: