PUC Rio; Cálculo 4; P2 de 2019.2
Questão 4: (Justifique todas as suas respostas)
Encontre a solução do seguinte PVI:
Passo 1
Ora, a solução de uma EDO não homogênea a coeficientes constantes pode ser feita fazendo primeiro a solução da homogênea () e depois a solução da particular (). A solução geral será a soma das duas:
Vamos nessa então?
Passo 2
A solução da parte homogênea é feita considerando do outro lado da EDO:
Ora, aqui podemos usar os conceitos de equação característica no qual temos que comparar essa equação de cima com essa daqui:
A solução dessa equação por soma e produto nos gera as seguintes raízes:
Então, como temos duas raízes reais e diferentes entre si, a solução da EDO homogênea segue esse modelo aqui:
Passo 3
Beleza! Agora vamos buscar a solução da particular:
Como a função que torna essa equação não homogênea é a função , um produto de uma função do primeiro grau por uma exponencial, a solução particular terá essa cara aqui:
Ou seja, o produto de uma função particular por uma exponencial do mesmo tipo! e são constantes que devemos encontrar. Para isso, vamos derivar :
Agora vamos calcular a segunda derivada:
Com essas derivadas calculadas, podemos substituir na EDO:
Simplificando essa expressão...
Ganharemos essa equação daqui:
Igualando os dois lados, vamos ganhar...
Onde tiranos os valores de e :
Beleza! Então, a solução particular será...
Passo 4
Como vimos lá no passo 1, a solução geral então é dada pela soma da particular com a da homogênea:
Agora vamos encontrar a solução do PVI (valores das constantes) usando e :
Usando primeiro :
Agora usando : temos que derivar a solução antes...
Então, será...
Substituindo o então...
Juntando essa equação com a que ganhamos com a primeira condição, ou seja:
Somando as duas, em ambos os lados da igualdade:
Já o será...
Então, a solução geral desse PVI é...