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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Puc Rio - 2019.1; G1 de Cálculo 4

Questão 3 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre a solução do PVI:

y ' ' - 2 y ' + y = e 2 t y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Ora bolas! A solução de uma EDO não homogênea de segunda Ordem é dada pela soma da resposta da homogênea somada à solução da particular:

y = y h + y p

Vamos encontrar cada um dessas soluções então e depois soma-las!

Passo 2

Para a resposta da homogênea, devemos resolver a EDO...

y ' ' - 2 y ' + y = 0   →

Usando o conceito de equação característica, onde devemos trocar os y ’s da seguinte maneira...

r 2 - 2 r + 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau...

r = 2 ± - 2 2 - 4 2

r = 2 2   →

r 1 = r 2 = 1

Ora! Temos aqui uma única resposta real! Quando isso acontece, a solução da homogênea característica é dessa forma aqui...

y t = c 1 e r 1 t + c 2 t e r 2 t →

y t = c 1 e t + c 2 t e t

Passo 3

Agora, para a solução da particular, devemos pegar a EDO inteira...

y ' ' - 2 y ' + y = e 2 t

Percebam que a função que torna essa equação não homogênea é a função g t = e 2 t . Logo, o Chute para a solução particular será...

y p = A e 2 t

Para encontrar o valor de A , devemos derivar até a segunda derivada e substituir na EDO:

y p ' = 2 A e 2 t

y p ' ' = 4 A e 2 t

Então...

y ' ' - 2 y ' + y = e 2 t   →

4 A e 2 t - 2 ⋅ 2 A e 2 t + A e 2 t = e 2 t   →

A e 2 t = e 2 t   →

A = 1

Logo, a solução particular será...

y p = A e 2 t   →

y p = e 2 t

Passo 4

Logo, a solução geral da nossa EDO é dada como no passo 1 :

y = y h + y p →

y = c 1 e t + c 2 t e t + e 2 t →

Como o nosso problema é de valor inicial, devemos buscar quais são os valores de c 1 e c 2 usando as condições iniciais...

y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

Então...

y 0 = c 1 e 0 + c 2 ⋅ 0 e 0 + e 0   →

1 = c 1 + 1   →

c 1 = 0

Para determinar c 2 , precisamos derivar a solução geral...

y = c 1 e t + c 2 t e t + e 2 t →

y ' = c 1 e t + c 2 t e t + e t + 2 e 2 t →

Substituindo agora c 1 = 0 e y ' 0 = 1 ...

y ' 0 = 0 e 0 + c 2 0 e 0 + e 0 + 2 e 0 →

1 = c 2 1 + 2 →

c 2 = - 1

Então, a resposta final da nossa EDO será...

y = c 1 e t + c 2 t e t + e 2 t →

y = - t e t + e 2 t

Resposta

y = - t e t + e 2 t

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