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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Questão 4: Qual é a solução da equação diferencial y ' - 3 y = e 2 x satisfazendo a condição inicial y 0 = 3 ?

  1. y x = 4 e 3 x - e 2 x .
  2. y x = 4 e 3 x - e 4 x .
  3. y x = 5 e 4 x - 2 e 2 x .
  4. y x = 2 e 3 x + e 2 x .
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Pois bem, para encontrar tais soluções, vamos resolver a EDO, lembrando que uma EDO com essa pode ser resolvida calculando a solução da homogênea y h ... A solução da particular y p e então...

y x = y h + y p

Vamos nessa?

Passo 2

Vamos começar com a solução da homogênea:

y ' - 3 y = 0

Comparando coma equação característica...

r - 3 = 0   →

r = 3

Então a solução da homogênea é...

y h = C e 3 x

Passo 3

Para a solução da Particular, devemos observar que a função que torna a EDO homogênea é...

y ' - 3 y = e 2 x

Então, a cara da solução particular é essa daqui:

y p = A e 2 x

Derivando uma vez...

y p ' = 2 A e 2 x

E substituindo na EDO, podemos encontrar quem é o A ...

y ' - 3 y = e 2 x   →

2 A e 2 x - 3 A e 2 x = e 2 x →

- A e 2 x = e 2 x   →       A = - 1

Então a solução da EDO em si é...

y x = y h + y p →

y x = C e 3 x - e 2 x

Passo 4

Falta só uma coisa, o problema nos deu um valor inicial, então temos que substituir e verificar quem é C da solução:

y 0 = 3   →

y 0 = C e 0 - e 0 = 3   →

C - 1 = 3   →           C = 4

Logo a nossa solução do PVI é...

y x = 4 e 3 x - e 2 x

Resposta

a )   4 e 3 x - e 2 x

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