Um sistema massa-mola é governado pelo problema de valores iniciais:
A posição da mola no instante é:
Passo 1
A gente tem a equação de uma EDO de segunda ordem com valores iniciais.
Percebe que ela é não homogênea. Então a solução dela é da forma:
A solução homogênea a gente acha pela equação característica e a particular dando aquele chute esperto.
E para descobrir as constantes que aparecerem, usamos os valores iniciais, beleza?
A questão pede , então depois que acharmos a solução, é só fazer
Passo 2
Temos então a equação homogênea é:
Com isso a equação característica fica:
Calculando o e as raízes dessa equação:
Para esse caso,
Passo 3
Precisamos encontrar, então, a solução particular para
Olhando para a função do lado direito da nossa equação, nosso chute inicial vai ser .
Maaaas, esse termo já aparece na solução homogênea, então a gente precisa multiplicar ele por .
Só que, de novo, esse termo aparece na solução homogênea, então a gente vai precisar multiplicar por de novo. Nosso chute então fica assim:
Passo 4
Agora a gente quer substituir esse chute na nossa EDO para achar o valor de . Calculando as derivadas de
Substituindo na equação:
Fazendo a distributiva e somando os termos semelhantes, vemos que alguns termos vão se cortando e a gente fica com:
Nossa solução particular fica desse forma:
Passo 5
Podemos achar a solução geral que é:
E para achar as constantes, só usarmos os valores iniciais:
Temos que calcular antes (e já sabendo que :
Finalmente, a solução da nossa equação é:
Passo 6
O enunciado pediu , então:
Logo, nossa resposta é a letra b.
Resposta
Letra b