Determine uma equação diferencial de modo que a função
seja a solução geral da EDO.
Passo 1
O problema deu uma situação inversa aqui. Ele deu a função e pediu para encontrarmos uma equação em que ela é solução.
De forma geral, temos que a solução de uma EDO é dada por:
Ou seja, a soma da solução homogênea com a solução particular. Para uma EDO de segunda ordem, sempre que tivermos raízes imaginárias, a solução homogênea vai ser da forma:
Em que:
Dado pela equação característica. Comparando essa forma geral com o que temos, vemos que:
Com:
E então, sobrará:
Portanto, podemos reescrever a equação característica da parte homogênea a partir disso da mesma forma qe se faz para encontrar a equação de segundo grau a partir das raízes:
Para equação característica, temos a relação:
Assim:
E essa é a parte homogênea da EDO associada.
Passo 2
Encontramos a parte homogênea. Precisamos agora determinar a parte particular e teremos a equação final:
Como temos:
Vamos ter na forma:
Então, calculamos as derivadas para substituir e achar as constantes:
Logo:
Agora comparamos os dois lados colocando e em evidência:
Comparando, temos:
Portanto, nossa EDO será:
E é isso. 😊