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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 1c

1) Considere a relação f definida pela equação f x , y , z = z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z .

c. Se G t = f r t , onde r t = x t , y t , z t , r 4 = 3 2 , 0 , e 2 e r ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 , calcule G ' 4 ?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x , y , z = z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z e dado que G t = f r t em que r t = x t , y t , z t , r 4 = 3 2 , 0 , e 2 e r ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 , queremos calcular o valor de G ' 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Em resumo, queremos calcular a derivada de uma função composta G t = f r t .

Sabemos que a derivada de uma função composta é calculada a partir da regra da cadeia, não é? Então nesse caso temos que aplicar a regra da cadeia para obter a derivada de G t .

Parece tranquilo? Bora começar! 😁

Passo 2

Nesse caso, temos

G t = f r t

Derivando nos dois lados e aplicando a regra da cadeia no lado direito, vamos obter

G ' t = r ' t · f ' r t

Aplicando o ponto t = 4

G ' 4 = r ' 4 · f ' r 4

G ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 · f ' r 4

G ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 · ∂ f r 4 ∂ x , ∂ f r 4 ∂ y , ∂ f r 4 ∂ z

Agora o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais da função f ...

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Derivando f parcialmente em relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z ∂ x = - x z 1 - x 2 - y 2

Aplicando o ponto t = 4 a ∂ f ∂ x sabendo que r 4 = 3 2 , 0 , e 2 ...

∂ f r 4 ∂ x = - 3 2 e 2 1 - 3 2 2 - 0 2 = - 3 e 2 2 1 2

∂ f r 4 ∂ x = - 3 e 2

Agora fazemos o mesmo com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z ∂ y = - y z 1 - x 2 - y 2

Aplicando o ponto t = 4 a ∂ f ∂ y

∂ f r 4 ∂ y = - 0 e 2 1 - 3 2 2 - 0 2

∂ f r 4 ∂ y = 0

E por último com relação a z

∂ f ∂ z = ∂ z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z ∂ z = 1 - x 2 - y 2 + 1 z ln ⁡ z

E agora aplicamos t = 4 em ∂ f ∂ z

∂ f r 4 ∂ z = 1 - 3 2 2 - 0 2 + 1 e 2 ln ⁡ e 2 = 1 2 1 2 e 2

∂ f r 4 ∂ z = 1 4 e 2

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais de f em G ' t , temos

G ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 · ∂ f r 4 ∂ x , ∂ f r 4 ∂ y , ∂ f r 4 ∂ z

G ' 4 = 3 e 2 , 4 ln ⁡ 4 , 2 · - 3 e 2 , 0 , 1 4 e 2

Calculando esse produto interno, chegamos em

G ' 4 = 3 e 2 · - 3 e 2 + 4 ln ⁡ 4 · 0 + 2 · 1 4 e 2

G ' 4 = - 3 + 1 2 e 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

G ' 4 = - 3 + 1 2 e 2

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .