Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

c) Considere a curva espacial α t = x t ,   y t , z t . Calcule a derivada da função g t = f x t , y t , z t , quando t = t 0 , ou seja, g ' t 0 sabendo-se que:

x t 0 = 1   , y t 0 = 2   , z t 0 = - 1

x ' t 0 = 2   ,   y ' t 0 = 2   ,   z ' t 0 = 1

Passo 1

c) Pela regra da cadeia temos:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

Calculando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x - 2 y ,   6 y - 2 x , 2 z

No ponto dado:

x t 0 , y t 0 , z t 0 = 1,2 , - 1

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - 2 ,   10 , - 2

Passo 2

Substituindo:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

d f d t = - 2 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 1

d f d t = 10 2 - 6

Resposta

c) d f d t = 10 2 - 6

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .