Seja f(x, y, z) = x^2 + 3*y^2 + z^2 - 2xy

c) Considere a curva espacial α(t) = (x(t), y(t), z(t)) . Calcule a derivada da função g(t) = f(x, t, y, t, z, t) , quando t = t0 , ou seja, g' (t0) sabendo-se que:

x(t0) = 1, y(t0) = 2, z(t0) = -1

x'|t0 = 2, y'|t0 = raiz(2), z'|t0 = 1

Passo 1

c) Pela regra da cadeia temos:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

Calculando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x - 2 y ,   6 y - 2 x , 2 z

No ponto dado:

x t 0 , y t 0 , z t 0 = 1,2 , - 1

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - 2 ,   10 , - 2

Passo 2

Substituindo:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

d f d t = - 2 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 1

d f d t = 10 2 - 6

Resposta

c) d f d t = 10 2 - 6

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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