A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E: R^2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ(t) = (t^2 + 1, 3t), t ∈ [0, +∞[ . Sabendo que ∂E/∂x | 5, 6 = 4 e ∂E/∂y (5, 6) = -2 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 2 de seu movimento é de:

a) 10 .

b) 6.

c) -6 .

d) -10 .

e) 0 .

Passo 1

Fala galera, partiu fazer mais esse probleminha da POLI?

O enunciado fala que o campo elétrico E x ,   y é uma função de duas variáveis e queremos saber como esse campo varia especificamente ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t . Para isso, note que nessa curva

x t = t 2 + 1               e             y t = 3 t

Assim, se fizermos a composta de E com γ , obtemos uma função f t de uma única variável:

f t = E γ t = E t 2 + 1 ,   3 t

Derivando pela regra da cadeia:

d f d t t = ∂ E ∂ x d x d t + ∂ E ∂ y d y d t

Como

d x d t = 2 t               e           d y d t = 3

temos que

d f d t t = 2 t ∂ E ∂ x t 2 + 1 ,   3 t + 3 ∂ E ∂ y t 2 + 1 ,   3 t

Passo 2

Agora é só substituir t = 2 :

d f d t 2 = 4 ∂ E ∂ x 5 ,   6 + 3 ∂ E ∂ y 5 ,   6

Pelas informações do enunciado: ∂ E ∂ x 5 ,   6 = 4 e ∂ E ∂ y 5 ,   6 = - 2 . Assim,

d f d t 2 = 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ - 2 = 1 6 - 6 = 10

Essa é a taxa de variação do campo, ao longo da curva, em t = 2 ! Com isso chegamos na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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