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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 10

Sendo ϕ t uma função diferenciável, qual igualdade se verifica para a função z = y 2 3 x + ϕ x y ?

a y 2 ∂ z ∂ x + x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

b ∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y + x 2 = 0

c x 2 ∂ z ∂ x - x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

d x 2 ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y + x y = 0

e x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Passo 1

Vamos começar analisando essa ϕ t aí! Na nossa função ela aparece como ϕ x y certo? Então podemos dizer que a nossa variável t depende de x e y :

t x , y

Opa, já deu pra notar que vai rolar uma regra da cadeia? Se liga:

∂ ϕ ∂ x = ∂ ϕ ∂ t ∙ ∂ t ∂ x = ϕ ˙ ∙ t x

∂ ϕ ∂ y = ∂ ϕ ∂ t ∙ ∂ t ∂ y = ϕ ˙ ∙ t y

Até aqui beleza? Bom, nesse caso temos que t = x y ! Logo,

t x = y

t y = x

Então:

∂ ϕ x y ∂ x = y ϕ ˙

∂ ϕ x y ∂ y = x ϕ ˙

Beleza, agora que desvendamos esse ϕ vamos para o próximo passo!

Passo 2

Agora não tem muita escapatória, temos que testar uma a uma . . .

Letra a

y 2 ∂ z ∂ x + x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

y 2 - y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + x y 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 4 3 x 2 + y 3 ϕ ˙ + 2 y 2 3 + x 2 y ϕ ˙ + y 2 = 0

Po, tem um y 4 dividido por um x 2 , um y 2 , enfim, ta uma bagunça! Então essa afirmação aí não vai ser verdade pra qualquer ϕ t . Vamos pra próxima!

Passo 3

∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y + x 2 = 0

- y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + x 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + 2 y 3 + x 2 ϕ ˙ + y 2 = 0

De novo, um monte de termos com potências diferentes, essa daí é falsa também!

Passo 4

Letra c

x 2 ∂ z ∂ x - x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

x 2 - y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ - x y 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 2 3 + x 2 y ϕ ˙ - 2 y 2 3 - x 2 y ϕ y + y 2 = 0

0 = 0

Opa, olha que beleza! Tudo se cortou né! Então essa aqui é a nossa resposta 😉

Resposta

Letra c

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .