Considere a função dada por , em que é uma função diferenciável de uma variável real.
- Mostre que .
Passo 1
Pow, se o problema nos pediu para mostrar que aquela expressão é válida, vamos derivar a função com relação a e e ver se a soma dá realmente aquele valor, Bora?
AH! Mas qual é o detalhe?!
Temos uma função composta ali, a , então, não vamos deixar de aplicar a regra da cadeia, ok?
Passo 2
Então vamos calcular a primeira derivada parcial
Como ,
Na derivada em relação a , é constante logo também é, então ele cai fora...
Agora aqui é que entra a sacada!
Derivar essa expressão aí com relação à é derivar primeiro a função de fora, a , e depois a de dentro com relação à , certo?
Mas quem é a derivada da de fora?!
Passo 3
Bem, é uma função de uma única variável.
What????
Pensa assim: é um número, ... também, logo é apenas um único número, sacou? Podemos chamar esse número de : , portanto !
Agora ficou mais fácil né?
A derivada do de é a derivada simples da função com relação a , ou seja
E a derivada do de dentro é . Basta derivar normalmente:
Passo 4
Portanto voltando a regra da cadeia,
Percebeu?
Passo 5
Fazendo o mesmo para ...
Nesse caso, como estamos derivando em relação a e existe um produto, devemos aplicara regra do produto primeiro
A primeira derivada, morre!
A última que sobrou, regra da cadeia novamente, ou seja derivada da de fora, vezes a da de dentro...
Como
Logo
Passo 6
Bem, já temos as duas derivadas que precisamos, basta averiguar, ou seja, fazer a soma das duas
Cortando esses dois caras
Como do enunciado , concluímos que
Resposta
- Verifica-se pela derivação parcial e regra da cadeia.