Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

(Capítulo 14.5 – Exercício 37) A velocidade da propagação do som através do oceano com salinidade de 35 partes por milhar foi modelada pela equação

C = 1449,2 + 4,6 T - 0,055 T 2 + 0,00029 T 3 + 0,016 D

onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a temperatura (em graus Celsius) e D é a profundidade abaixo do nível do mar (em metros). Um mergulhador começa um mergulho tranquilo nas águas oceânicas, e a profundidade do mergulho e a temperatura da água ao redor são registradas nos gráficos a seguir. Estime a taxa de variação (em relação ao tempo) da velocidade do som através do oceano experimentada pelo mergulhador 20 minutos depois do início do mergulho. Quais são as unidades?

Passo 1

Salveee pessoal! Se liga só, nessa questão temos essa função:

C = 1449,2 + 4,6 T - 0,055 T 2 + 0,00029 T 3 + 0,016 D

E aí queremos estimar a taxa de variação da velocidade do som após 20 minutos depois do início do mergulho. Isso significa determinar d C d t quando t = 20 , sendo necessário utilizar a regra da cadeia, já que C   é uma função que depende de T (temperatura) e de D (profundidade abaixo do nível do mar).

Então vamos lá??

Passo 2

Como queremos a derivada de C em relação ao tempo, sabendo que C = F T t , D t , vamos ter pela regra da cadeia:

d C d t = ∂ C ∂ T . d T d t +   ∂ C ∂ D . d D d t

Showw, então derivando C em relação a T e a D , temos

d C d t = 4,6 - 0,11 T + 0,00087 T 2 . d T d t + 0,016 . d D d t

Passo 3

Observando o gráfico, temos que quando t = 20 , a temperatura é T = 12,5 ° C e D = 7

Além disso, estimando os valores de d T d t e d D d t utilizando ∆ y ∆ x :

d D d t =   10 - 7 25 - 20 = 0,6

d T d t = 12 - 12,5 25 - 20 = - 0,1

Showww, então podemos calcular d C d t após 20 minutos.

d C d t = 4,6 - 0,11.12,5 + 0,00087 12,5 2 . ( - 0,1 ) + 0,016 . 0,6

d C d t =   - 0,33 m s . m i n .

E é isssoooo

Resposta

d C d t =   - 0,33 m s . m i n .

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .