Seja uma função diferenciável e suponha que ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as dimensões , e são medidas em metros). Suponha ainda que possui as seguintes propriedades:
Uma mosca está voando por esta sala.
Se a posição em cada instante (dado em segundos) for representada pelo caminho
Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo neste caminho, no instante segundos.
Passo 1
Calcular gradiente da função:
Não temos a função, mas o problema nos fornece os valores das derivadas parciais em um ponto:
Como o enunciado pede a taxa de variação em , muito provavelmente, esse ponto corresponde a .
Passo 2
Definir função vetorial:
Vamos definir
Então:
Passo 3
Derivar parametrização:
Passo 4
Calcular , e correspondentes a :
Então , e quando .
Logo, o ponto realmente corresponde a e por isso mesmo que o problema forneceu as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 5
Calcular gradiente nesse ponto:
Já foi feito no primeiro passo:
Passo 6
Calcular derivada em :
Passo 7
Agora é só fazer o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação é de após segundos.