Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Ver Teoria
Exercício 421234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041434445464748495051525354

Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 24

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que o gráfico de f contém as imagens das curvas α t = t 2 ,   t ,   t 4 - 1 ,     t ∈ R e β u = u , 1 u ,   - u 2 2 + 1 2 ,   u > 0 . Nestas condições, o gradiente de f em 1 ,   1 é paralelo ao vetor:

a) ( 2 ,   4 ) .

b) ( 2 ,   - 6 ) .

c) ( 2 ,   - 8 ) .

d) ( 2 ,   6 ) .

e) ( 2 ,   - 4 ) .

Passo 1

Prontos para mais uma questão da POLI? Bora resolver mais um problema!!!

O exercício quer saber qual a direção do gradiente de f sabendo que as curvas α ( t ) e β u tem suas imagens contidas no gráfico de f .

Nós queremos achar a direção do gradiente de f , que é dada por

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Nosso objetivo então é achar essas derivadas parciais! Mas como fazer isso?

Para entender melhor situação, se uma curva γ t = x t ,   y t ,   z t está contida no gráfico de f ( x ,   y ) , então se você trocar x e y por x ( t ) e y ( t ) na função, isso será igual a z ( t ) :

f x t ,   y t = z t

Se derivarmos com relação ao tempo, as derivadas parciais vão aparecer:

d z d t = d d t f x t ,   y t

Pela regra da cadeia:

d z d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Essa é a relação que vamos usar para resolver o problema!

Passo 2

Como a imagem da curva α t = t 2 ,   t ,   t 4 - 1 está contida no gráfico de f , e como γ t = x t ,   y t ,   z t , temos que

x t = t 2 ,           y t = t               e             z t = t 4 - 1

Derivando com relação ao tempo:

d x d t = 2 t ,                   d y d t = 1                     e             d z d t = 4 t 3

Assim,

d z d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t ⇒ 4 t 3 = 2 t ∂ f ∂ x + 1 ⋅ ∂ f ∂ y

Fazendo t = 1 , temos que x 1 = 1 e y 1 = 1 . Fizemos isso pois queremos o gradiente no ponto x ,   y = 1 ,   1 . Com isso,

2 ∂ f ∂ x 1 ,   1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 4

Vamos guardar essa equação!

Passo 3

Agora vamos olhar para a curva β u = u , 1 u ,   - u 2 2 + 1 2 . Vale a mesma relação que usamos para α :

d z d u = ∂ f ∂ x d x d u + ∂ f ∂ y d y d u

Aqui,

x u = u ,               y u = 1 u               e               z u = - u 2 2 + 1 2

Portanto,

d x d u = 1 ,             d y d u = - 1 u 2                 e             d z d u = - u

Como

d z d u = ∂ f ∂ x d x d u + ∂ f ∂ y d y d u

temos que:

- u = 1 ⋅ ∂ f ∂ x - 1 u 2 ∂ f ∂ y

Fazendo u = 1 , obtemos x 1 = 1 e y 1 = 1 . Portanto,

∂ f ∂ x 1 ,   1 - ∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 1

Passo 4

Com as equações que você obteve nos passos 2 e 3, podemos resolver o sistema:

2 ∂ f ∂ x 1 ,   1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 4 ∂ f ∂ x 1 ,   1 - ∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 1

Se somarmos as equações, as derivadas com relação a y somem:

3 ∂ f ∂ x 1 ,   1 = 3 ⇒ ∂ f ∂ x 1 ,   1 = 1

Voltando na primeira equação:

2 ⋅ 1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 4

Assim,

∂ f ∂ y 1 ,   1 = 2

Portanto,

∇ f 1 ,   1 = ∂ f ∂ x 1 ,   1 ,   ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 1 ,   2

Passo 5

Para que dois vetores sejam paralelos, devemos ter

u → = λ   v →

Queremos achar

u → = λ   ∇ f 1 ,   1 = λ   1 ,   2

Dentre as alternativas dadas, o único possível está na alternativa A com λ = 2 :

u → = ( 2 ,   4 )

Com isso, chegamos na alternativa A como resposta 😊

Resposta

Alternativa A.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .