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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 5 – Exercício 39

(Capítulo 14.5 – Exercício 39) O comprimento L, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são L = 1   m e w = h = 2 m , L e w estão aumentando em uma taxa de 2 m/s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão

variando.

(a) O volume

(b) A área da superfície

(c) O comprimento da diagonal

Passo 1

Oiii gente, tudo certinho? Vamos lá matar mais uma questão de derivadas 😉

Nessa questão, temos uma caixa, daquelas comuns mesmo sabe? E aí queremos analisar a taxa de variação do volume, da área da superfície e do comprimento da diagonal dessa caixa, que tem comprimento l , largura w e altura h . Para isso, como essas funções dependem do tempo, é necessário utilizar a Regra da Cadeia, blz?

Lembrando que os dados fornecidos pelo enunciado são:

w = h = 2 m

l = 1 m

d w d t =   d l d t = 2 m / s

d h d t = - 3 m / s

Então só vamos!

Passo 2

a) O volume da caixa é dado por

V = l w h

Derivando os dois lados em relação a t utilizando a regra da cadeia:

d V d t = ∂ V ∂ l . d l d t + ∂ V ∂ w . d w d t +   ∂ V ∂ h . d h d t

Então

d V d t = w h . d l d t + l h .   d w d t + l w .   d h d t

Substituindo os dados do enunciado:

d V d t = 2.2 . 2 + 1.2 . 2 + 1.2 . - 3 = 6   m ³ / s

Passo 3

b) A área da superfície da caixa é dada por

A = 2 . ( w l + l h + w h )

Derivando os dois lados em relação a t :

d A d t = ∂ A ∂ l . d l d t + ∂ A ∂ w . d w d t +   ∂ A ∂ h . d h d t

d A d t = 2 . w + h d l d t + l + h . d w d t + l + w . d h d t

Substituindo os dados do enunciado:

d A d t = 2 . 2 + 2 . 2 + 1 + 2 . 2 + 1 + 2 . ( - 3 ) = 2 .   8 + 6 - 9 = 10   m ² / s

Passo 4

c) Por fim, o comprimento da diagonal é dado por

D = w ² + l ² + h ²

Então:

d D d t = ∂ D ∂ l . d l d t + ∂ D ∂ w . d w d t +   ∂ D ∂ h . d h d t

d D d t = 1 2 w 2 + l 2 + h 2 . ( 2 l .   d l d t + 2 w .   d w d t + 2 h .   d h d t )

d D d t = 1 2 2 2 + 1 2 + 2 2 . ( 2.1 .   2 + 2.2 .   2 + 2 .2.(-3) ) = 0 2.3 = 0   m / s

Ou seja, embora os outros parâmetros estejam variando, o comprimento da diagonal não muda

E acabamoooos!

Resposta

  1. 6   m ³ / s
  2. 10   m ² / s
  3. 0   m / s

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .