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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 1.

Se

f x , y = e x y

g t = cos ⁡ t

h t = sen ⁡ t

E

F t = f g t , h t

Calcule F ' ( 0 )

Passo 1

Clássico de regra da cadeia – 1 parâmetro!

Veja só, temos

f x , y = e x y

g t = x ( t ) = cos ⁡ t

h t = y ( t ) = sen ⁡ t

F t = f x t , y t

Tudo o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais e substituir na fórmula

d F d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Passo 2

Mãos à obra no cálculo dessas derivadas parciais!

∂ f ∂ x = e x y . y = y e x y

∂ f ∂ y = e x y . x = x e x y

d x d t = - sen ⁡ t

d y d t = cos ⁡ t

Passo 3

Substituindo tudo:

d F d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

d F d t = y e x y ⋅ ( - sen ⁡ t ) + x e x y ⋅ cos ⁡ t

d F d t = e x y ( - y sen ⁡ t + x cos ⁡ t )

Passo 4

Agora vamos calcular os valores de x e y correspondentes a t = 0 :

x 0 = cos ⁡ 0 = 1

y 0 = sen ⁡ 0 = 0

Passo 5

Finalmente, calculando a derivada:

d F d t 0 = F ' 0 = e 1.0 - 1 sen ⁡ 0 + 1 cos ⁡ 0 = 1 0 + 1 = 1

Resposta

F ' ( 0 ) = 1

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .