Seja f(x, y) uma função diferenciável no ponto (2,1) tal que f_x(2,1) = 1 . Seja r(t) = (4t + 2, e^(2t)) . Sabendo que

d/dt f(r(t)) | t=0 = 0

Quanto vale f_y(2,1) ?

a -1

b 3

c 0

d 1

e -2

Passo 1

Vamos começar descobrindo o valor de x , y para t = 0 . Temos:

x = 4 t + 2 = 4 0 + 2 = 2

y = e 2 t = e 2 0 = e 0 = 1

Logo x , y = 2,1

Passo 2

Sabemos, do enunciado:

d d t f r 0 = 0

Porém, pela regra da cadeia:

d d t f r 0 = ∂ f 2,1 ∂ x ∂ x 0 ∂ t + ∂ f 2,1 ∂ y ∂ y 0 ∂ t

0 = ∂ f 2,1 ∂ x ∂ x 0 ∂ t + ∂ f 2,1 ∂ y ∂ y 0 ∂ t

Passo 3

Também pelo enunciado sabemos que:

∂ f 2,1 ∂ x = f x 2,1 = 1

Podemos calcular:

∂ x 0 ∂ t   e   ∂ y 0 ∂ t

Temos:

x = 4 t + 2 → ∂ x 0 ∂ t = 4

y = e 2 t → ∂ y 0 ∂ t = 2 e 2 0 = 2 e 0 = 2

Passo 4

Substituindo:

0 = 1 4 + ∂ f 2,1 ∂ y 2

Então temos:

- 4 = 2 f y 2,1

f y 2,1 = - 2  

Resposta

Letra e

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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