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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Exercício 461234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454748495051525354

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 1

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 2,1 tal que f x 2,1 = 1 . Seja r t = 4 t + 2 , e 2 t . Sabendo que

  d d t f r t t = 0 = 0

Quanto vale f y 2,1 ?

a - 1

b 3

c 0

d 1

e - 2

Passo 1

Vamos começar descobrindo o valor de x , y para t = 0 . Temos:

x = 4 t + 2 = 4 0 + 2 = 2

y = e 2 t = e 2 0 = e 0 = 1

Logo x , y = 2,1

Passo 2

Sabemos, do enunciado:

d d t f r 0 = 0

Porém, pela regra da cadeia:

d d t f r 0 = ∂ f 2,1 ∂ x ∂ x 0 ∂ t + ∂ f 2,1 ∂ y ∂ y 0 ∂ t

0 = ∂ f 2,1 ∂ x ∂ x 0 ∂ t + ∂ f 2,1 ∂ y ∂ y 0 ∂ t

Passo 3

Também pelo enunciado sabemos que:

∂ f 2,1 ∂ x = f x 2,1 = 1

Podemos calcular:

∂ x 0 ∂ t   e   ∂ y 0 ∂ t

Temos:

x = 4 t + 2 → ∂ x 0 ∂ t = 4

y = e 2 t → ∂ y 0 ∂ t = 2 e 2 0 = 2 e 0 = 2

Passo 4

Substituindo:

0 = 1 4 + ∂ f 2,1 ∂ y 2

Então temos:

- 4 = 2 f y 2,1

f y 2,1 = - 2  

Resposta

Letra e

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .