A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por , onde e são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto .
Se o objeto percorrer uma curva e sua posição em cada instante (segundos) é dada por , determine sua taxa de variação de temperatura em relação ao tempo quando ele passar pelo ponto .
Passo 1
Nessa questão as coordenadas e do objeto dependem do tempo :
Então .
A gente quer a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, que nada mais é do que uma derivada. E vamos ter que usar a regra da cadeia:
Vamos achar essas derivadas todas!
Sem grandes dificuldades, calculamos e . Mas ainda falta e .
A posição do objeto dada por , logo:
Passo 2
Vamos jogar os valores na fórmula!
Como e :
Ele pediu a taxa no tempo então:
Resposta
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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .