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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 25

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que o gráfico de f contém as imagens das curvas α t = t 2 ,   t ,   - t 2 + 1 ,     t ∈ R e β u = u , 1 u ,   u 5 - 1 ,   u > 0 . Nestas condições, o gradiente de f em 1 ,   1 é paralelo ao vetor:

a) ( 2 ,   - 8 ) .

b) ( 2 ,   4 ) .

c) ( 2 ,   - 6 ) .

d) ( 2 ,   6 ) .

e) ( 2 ,   - 4 ) .

Passo 1

Prontos para mais uma questão da POLI? Bora resolver mais um problema!!!

O exercício quer saber qual a direção do gradiente de f sabendo que as curvas α ( t ) e β u tem suas imagens contidas no gráfico de f .

Para entender melhor situação, se uma curva γ t = x t ,   y t ,   z t está contida no gráfico de f ( x ,   y ) , então se você trocar x e y por x ( t ) e y ( t ) na função, isso será igual a z ( t ) :

f x t ,   y t = z t

Derivando com relação a t , obtemos

d z d t = d d t f x t ,   y t

Pela regra da cadeia:

d z d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Essa é a relação que vamos usar para resolver o problema!

Passo 2

Como a imagem da curva α t = t 2 ,   t ,   - t 2 + 1 está contida no gráfico de f , e como

x t = t 2 ,           y t = t               e             z t = - t 2 + 1

Segue que

d x d t = 2 t ,                   d y d t = 1                     e             d z d t = - 2 t

Assim,

d z d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t ⇒ - 2 t = 2 t ∂ f ∂ x + 1 ⋅ ∂ f ∂ y

Fazendo t = 1 , temos que x 1 = 1 e y 1 = 1 . Assim,

2 ∂ f ∂ x 1 ,   1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 2

Vamos guardar essa equação!

Passo 3

Agora vamos olhar para a curva β u = u , 1 u ,   u 5 - 1 . Vale a mesma relação que usamos para α :

d z d u = ∂ f ∂ x d x d u + ∂ f ∂ y d y d u

Aqui,

x u = u ,               y u = 1 u               e               z u = u 5 - 1

Portanto,

d x d u = 1 ,             d y d u = - 1 u 2                 e             d z d u = 5 u 4

Com isso,

5 u 4 = 1 ⋅ ∂ f ∂ x - 1 u 2 ∂ f ∂ y

Fazendo u = 1 , obtemos x 1 = 1 e y 1 = 1 . Portanto,

∂ f ∂ x 1 ,   1 - ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 5

Passo 4

Com as equações que você obtervo nos passos 2 e 3, podemos resolver o sistema:

2 ∂ f ∂ x 1 ,   1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 2 ∂ f ∂ x 1 ,   1 - ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 5

Somando as equações:

3 ∂ f ∂ x 1 ,   1 = 3 ⇒ ∂ f ∂ x 1 ,   1 = 1

Voltando na primeira equação:

2 ⋅ 1 + ∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 2

Assim,

∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 4

Portanto,

∇ f 1 ,   1 = ∂ f ∂ x 1 ,   1 ,   ∂ f ∂ y 1 ,   1 = 1 ,   - 4

Esse vetor é paralelo ao vetor

u → = ( 2 ,   - 8 )

Com isso, chegamos na alternativa A como resposta 😊

Resposta

Alternativa A.

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .